晓堃の博客

一、发展历史#

双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。

时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。

一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。

18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。

19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。

二、函数定义#

在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：

在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。

同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图：

具体的定义为

$\sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

$\cosh x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

$\tanh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$

三、函数性质#

和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。

四、恒等式#

双曲函数恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看，真的是太像了：

五、欧拉公式#

欧拉公式是复变函数里几乎最重要的一个公式，它揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，从形式上也十分简洁优美：

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

用 $-x$ 替换掉 $x$ ，得到

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

这样我们可以解出正弦和余弦函数与指数函数的关系式：

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

再把双曲函数拉过来看看

$\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

是不是非常接近了呢？很容易看出它们之间存在这样的关系：

$\cos x=\cosh(ix)$

$\sin x=-i\sinh(ix)$

六、复域统一#

先研究一下三角函数和双曲函数的级数展开。

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

$\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n)!}x^{2n}$

$\sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

双曲函数和三角函数的区别仅仅在于是否有$-1$的幂这一项，双曲函数就是将三角函数改为非交错级数。正是由于其无比相似的级数展开，才使得它们具有十分相似的性质。

我们说了这么多，两类函数似乎各种相似却还是不一样。那么三角函数和双曲函数的关系到底是什么呢？

在复域上，它们的形状其实是一样的！

不信？我们画一画图像。

直观地看，同一行的两个函数除了角度不同之外形状是一样的。

而其实这个关系前边已经说明过了：

$\cos x=\cosh(ix)$

$\sin x=-i\sinh(ix)$

这两个式子说明对应的两个函数仅通过旋转（对于复变函数，乘 $i$ 就相当于逆时针旋转90°）即可重合。

对了，大家都知道三角函数的周期是 $2\pi$，那么大家猜猜双曲函数的周期是多少？没错，是 $2\pi i$ ！

七、映射关系（需具备复变函数基础）#

正弦与余弦映射均由复变函数里的基本映射复合而成。如 $\omega=\cos z$ 是由旋转 $\frac{\pi}{2}$ 的映射、指数函数映射以及如可夫斯基映射复合而成：

1. $\omega_{1}=iz$
2. $\omega_{2}=e^{\omega_{1}}$
3. $\omega=\frac{1}{2}(\omega_{2}+\frac{1}{\omega_{2}})$

由公式

$\sin z=\frac{e^{i(z-\frac{\pi}{2})}-e^{-i(z-\frac{\pi}{2})}}{2i} = \cos(z-\frac{\pi}{2})$

同样可知 $\omega=\sin z$ 的复合过程。

由上述知，宽度为 $\pi$ 的铅直带状区域是 $z \to \sin z, z \to \cos z$ 的单叶区域。

我们来看看余弦函数在带状域 $-\pi<\text{Re}(z)<0$ 的映射情况：

$\omega = u+vi=\cos z=\cos (x+iy)=\cos x \cosh y - i\sin x \sinh y$

求直线 $x=x_{0}$ 的像，有

$\begin{cases}u=\cos x_{0}\cosh y \\ v=-\sin x_{0}\sinh y \end{cases}$

由此得

$\frac{u^{2}}{\cos ^{2}x_{0}} - \frac{v^{2}}{\sin ^{2}x_{0}} = 1$

这是一个直线到双曲线的映射，当 $x_{0}$ 为正数和负数时分别为其一个分支。而直线 $x=0$ 被映射为正实轴从1到 $+\infty$ 的割痕，直线 $x=-\pi$ 被映射为沿实轴 -1 到 $-\infty$ 的割痕。带状域的像为整个 $\omega$ 平面，除去实轴上从-1穿过无穷远到1的线段。

八、反双曲函数简介#

反双曲函数是双曲函数的反函数，其推导很简单：令 $e^{y}=u$，解关于 $u$ 的一元二次方程，再取自然对数即得。

$\text{arsinh } z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1})$

$\text{arcosh } z = \ln(z + \sqrt{z + 1}\sqrt{z - 1})$

$\text{artanh } z = \frac{1}{2}\ln(1+z) - \frac{1}{2}\ln(1-z)$

$\text{arcoth } z = \frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{1}{z}\right) - \frac{1}{2}\ln\left(1-\frac{1}{z}\right)$

$\text{arcsch } z = \ln\left(\frac{1}{z} + \sqrt{\frac{1}{z^2} + 1}\right)$

$\text{arsech } z = \ln\left(\frac{1}{z} + \sqrt{\frac{1}{z} + 1}\sqrt{\frac{1}{z} - 1}\right)$

细心的读者会注意到反双曲函数用的符号为ar, 而反三角函数用的符号为 arc，为什么呢？

因为反三角函数也可以用弧长定义： $\arcsin x$ 就是「正弦值为 x 的角的弧长」。而反双曲函数则是用面积定义，表示对应双曲扇形面积的二倍，用 $arsh$、$arch$ 等显示与其他函数的区别。

arc 在英文中有「弧长」的意思，而 ar 表示 area，有「面积」的意思。

九、参考文献#

[1] Inverse trigonometric functions

[2] Inverse hyperbolic function

[3] Hyperbolic function

[4] (俄)博亚尔丘克，复变函数[M]，北京，清华大学出版社，2008.5.

[5]同济大学数学系，高等数学[M]，北京，高等教育出版社，2007.10.

[6]张清，两无限长平行直导线间电容的精确解[J]，安徽，安徽工业大学学报，2003.1.

[7]徐裕生，反双曲函数符号的含义[J]，陕西，高等数学研究，1996.3.