题目重述#

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$。

证明： 存在不同的两点 $\xi, \eta \in (0,1)$，使得 $\frac{1}{f'(\xi)} + \frac{1}{f'(\eta)} = 2$。

解题思路#

1. 观察目标式子： 出现 $\frac{1}{f'}$，即导数的倒数。我们知道拉格朗日中值定理公式是 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。那么 $\frac{1}{f'(\xi)} = \frac{b-a}{f(b)-f(a)}$。
2. 确定策略： 既然要求两个不同的点 $\xi$ 和 $\eta$，我们需要把大区间 $[0,1]$ 分割成两个子区间。
3. 如何分割？
   • 如果目标是 $f'(\xi) + f'(\eta) = k$，通常分割定义域（$x$轴），找中点 $c=1/2$。
   • 如果目标是 $\frac{1}{f'(\xi)} + \frac{1}{f'(\eta)} = k$，通常分割值域（$y$轴）。
   • 本题中：$\frac{1}{f'}$ 的分子对应的是 $x$ 的长度，分母是 $y$ 的变化量。为了让两个倒数相加消去变量，我们尝试利用介值定理取 $f(x)$ 的中点。

证明步骤#

1. 利用介值定理找分割点：

   因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，且 $f(0)=0, f(1)=1$。

   由介值定理，必然存在一点 $c \in (0,1)$，使得 $f(c) = \frac{1}{2}$。

   （我们将区间 $[0,1]$ 分为 $[0,c]$ 和 $[c,1]$ 两段）。

2. 在第一段 $[0,c]$ 上应用拉格朗日中值定理：

   存在 $\xi \in (0,c)$，使得：

   $f'(\xi) = \frac{f(c) - f(0)}{c - 0} = \frac{\frac{1}{2} - 0}{c} = \frac{1}{2c}$

   整理得：

   $\frac{1}{f'(\xi)} = 2c$

3. 在第二段 $[c,1]$ 上应用拉格朗日中值定理：

   存在 $\eta \in (c,1)$，使得：

   $f'(\eta) = \frac{f(1) - f(c)}{1 - c} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 - c} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - c} = \frac{1}{2(1-c)}$

   整理得：

   $\frac{1}{f'(\eta)} = 2(1-c)$

4. 相加求和：

   $\frac{1}{f'(\xi)} + \frac{1}{f'(\eta)} = 2c + 2(1-c) = 2c + 2 - 2c = 2$

   且由于 $\xi \in (0,c)$，$\eta \in (c,1)$，显然 $\xi \neq \eta$。

   证毕。

1. 判别分割方向#

• 直接求和型 ($f' + f'$)：

  通常是对自变量 $x$ 进行分割（例如取中点 $x=1/2$）。

  • 原理： 导数 $f'$ 的分母是 $\Delta x$，分割 $x$ 轴可以让分母变成常数。

• 倒数求和型 ($\frac{1}{f'} + \frac{1}{f'}$)：

  通常是对函数值 $y$ 进行分割（例如取 $f(c) = \frac{f(a)+f(b)}{2}$）。

  • 原理： 倒数 $\frac{1}{f'}$ 的分母是 $\Delta y$，分割 $y$ 轴可以让分母变成常数。

2. 标准步骤#

1. 取点： 根据分割方向，用中点坐标公式或介值定理找到中间点 $c$。
2. 拉格朗日： 分别在 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ 上由拉格朗日中值定理列出方程。
3. 变形代入： 将 $f'(\xi)$ 或 $\frac{1}{f'(\xi)}$ 表达出来。
4. 消元： 将两式相加，消去中间参数 $c$。

练习题 1：基础变式（倒数型）#

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 可导，且 $f(0)=0, f(1)=2$。

证明： 存在不同的两点 $\xi, \eta \in (0,1)$，使得 $\frac{1}{f'(\xi)} + \frac{1}{f'(\eta)} = 1$。

练习题 2：方向变式（直接求和型）#

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$。

证明： 存在不同的两点 $\xi, \eta \in (0,1)$，使得 $f'(\xi) + f'(\eta) = 2$。

练习题 3：推广（N点型）#

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$。
证明： 对任意正整数 $n \ge 2$，存在 $n$ 个互不相同的点 $\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n \in (0,1)$，使得： $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{f'(\xi_i)} = n$

解题思路： 由于结论涉及导数的倒数之和，根据“倒数求和型”策略，我们应将值域 $[0, 1]$ 等分为 $n$ 个区间。

证明步骤：

1. 构造值域分割点：
   在 $y$ 轴上取等分点 $y_k = \frac{k}{n}$，其中 $k = 0, 1, \dots, n$。
   已知 $f(0)=0, f(1)=1$ 且 $f(x)$ 连续，由介值定理可知，必然存在一系列点 $x_0, x_1, \dots, x_n$ 使得：
   $0 = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = 1$，且满足 $f(x_k) = \frac{k}{n}$。

2. 分段应用拉格朗日中值定理：
   对于每一个小区段 $[x_{k-1}, x_k]$（其中 $k=1, 2, \dots, n$），由拉格朗日中值定理可知，存在 $\xi_k \in (x_{k-1}, x_k)$ 使得： $f'(\xi_k) = \frac{f(x_k) - f(x_{k-1})}{x_k - x_{k-1}}$ 代入 $f(x_k) = \frac{k}{n}$ 可得： $f'(\xi_k) = \frac{\frac{k}{n} - \frac{k-1}{n}}{x_k - x_{k-1}} = \frac{1}{n(x_k - x_{k-1})}$

3. 求倒数并累加：
   将上式取倒数： $\frac{1}{f'(\xi_k)} = n(x_k - x_{k-1})$ 对所有 $n$ 个点求和： $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f'(\xi_k)} = \sum_{k=1}^{n} n(x_k - x_{k-1})$

4. 利用裂项相消（Telescoping Sum）：
   将常数 $n$ 提取出来，内部形成消元： $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f'(\xi_k)} = n \left[ (x_1 - x_0) + (x_2 - x_1) + \dots + (x_n - x_{n-1}) \right]$ $= n (x_n - x_0)$ 代入边界值 $x_n = 1$ 和 $x_0 = 0$： $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f'(\xi_k)} = n (1 - 0) = n$

   由于各个 $\xi_k$ 位于不同的区间 $(x_{k-1}, x_k)$ 内，因此这 $n$ 个点互不相同。

证毕。

这个题好像是去年转专业考试的压轴题，依旧一开始写不出来