1.1 凸函数的定义#

在讨论不等式之前，我们首先回顾凸函数的严格定义： 设 $I$ 为实数域 $\mathbb{R}$ 上的区间。函数 $f: I \to \mathbb{R}$ 被称为凸函数（Convex Function），当且仅当对于任意 $x, y \in I$ 以及任意 $\lambda \in [0, 1]$，满足：

若上述不等号反向，则称 $f$ 为凹函数（Concave Function）。

1.2 关于权数$\lambda$#

1. 线性插值（分点坐标）：表达式 $\lambda x + (1-\lambda)y$ 描述了数轴上介于 $x$ 和 $y$ 之间的任意一点。
   • 当 $\lambda = 1$ 时，点位于 $x$；
   • 当 $\lambda = 0$ 时，点位于 $y$；
   • 当 $\lambda = 0.5$ 时，点恰好为中点 $\frac{x+y}{2}$。
2. 加权平均（Weighted Average）：左侧 $f(\lambda x + (1-\lambda)y)$ 是自变量加权平均后的函数值，即函数在$(x,y)$上的任意点；右侧 $\lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$ 是函数值的加权平均，即$(x,y)$上任意点的函数值。
3. 几何意义：在平面直角坐标系中，权重 $\lambda$ 决定了割线上点的垂直高度。凸性要求函数图象（弧）始终位于连接 $(x, f(x))$ 与 $(y, f(y))$ 的弦（割线）下方。

2.1 几何意义#

该不等式具有极强的几何直观性：

1. 右侧不等式：表示函数曲线下方的面积（积分），不超过连接两端点的割线下方形成的梯形面积。
2. 左侧不等式：表示函数曲线下方的面积（积分），不小于以中点切线（或通过中点的水平线）为顶边的矩形面积。

3.1 右侧不等式（上界）的证明#

目标：证明 $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \le \frac{f(a) + f(b)}{2}$

证明步骤： 根据凸函数的定义，对于参数 $t \in [0, 1]$，取点 $x_t = ta + (1-t)b$。由于 $f$ 是凸函数，有：

对上式两端关于变量 $t$ 在 $[0, 1]$ 区间上积分：

计算右侧积分：

计算左侧积分（换元法）： 令 $u = ta + (1-t)b$，则 $du = (a-b)dt$，即 $dt = \frac{du}{a-b}$。 积分限变换：当 $t=0, u=b$；当 $t=1, u=a$。

联立左右结果，右侧不等式得证。

3.2 左侧不等式（下界）的证明#

证明 $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

证明步骤： 根据凸函数的 Jensen 不等式性质，对于任意 $x, y \in I$，有 $f(\frac{x+y}{2}) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}$。 令 $x = ta + (1-t)b$，$y = (1-t)a + tb$，其中 $t \in [0, 1]$。 容易验证，两变量的中点恒定：

代入凸性条件：

对上式关于 $t$ 在 $[0, 1]$ 上积分：

分析积分项：

1. 不等式左边为常数，积分结果即为 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。
2. 不等式右边包含两个积分项。通过换元法（如同 3.1 节），这两个积分实际上是等价的，均等于 $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$。
   • 第一项：令 $u = ta + (1-t)b$，得 $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(u) du$。
   • 第二项：令 $v = (1-t)a + tb$，亦得 $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(v) dv$。

因此：

化简即得左侧不等式。$\blacksquare$

4.1 导出对数平均不等式#

考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，在区间 $(0, \infty)$ 上，$f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0$，故 $f$ 为凸函数。 设 $0 < a < b$，代入不等式：

1. 中点项：$f(\frac{a+b}{2}) = \frac{2}{a+b}$。
2. 积分项：$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \frac{1}{x} dx = \frac{\ln b - \ln a}{b-a}$。
3. 端点项：$\frac{f(a)+f(b)}{2} = \frac{1/a + 1/b}{2} = \frac{a+b}{2ab}$。

由 $f(\frac{a+b}{2}) \le \text{Integral Mean} \le \frac{f(a)+f(b)}{2}$，我们得到：

取倒数并整理（注意不等号方向改变），即得著名的平均值链：

其中 $H(a,b)$ 为调和平均数，$L(a,b)$ 为对数平均数，$A(a,b)$ 为算术平均数。

题外话：

写去年华工的高数试卷的时候写道了这个证明题，但是没有写出来，后面搜了一下这就是数学分析课本上的定理，还是太菜了，我的数学水平什么时候这么差了qwq（