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btop251
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5 分钟
伽玛函数
2025-12-09
Math
math
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高等数学，反常积分

反常积分重要函数之伽玛函数#

做题的时候突然看到这玩意，居然一点印象都没有

常用于概率论的计算，其实凑正态也行

Γ(α)=∫0+∞xα−1e−xdx\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm{d}x

如：

  1. ∫0+∞x5e−xdx=Γ(5+1)\int_{0}^{+\infty} x^5 e^{-x}\mathrm{d}x = \Gamma(5+1)
  2. ∫0+∞xe−xdx=Γ(12+1)\int_{0}^{+\infty} \sqrt{x}e^{-x}\mathrm{d}x = \Gamma\left(\frac{1}{2}+1\right)

性质#

Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)Γ(12)=π\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!

1. 递推公式 Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha) 的推导#

这是伽玛函数最核心的性质，通过分部积分法（Integration by Parts）证明。

根据伽玛函数的定义：

Γ(α+1)=∫0+∞x(α+1)−1e−xdx=∫0+∞xαe−xdx\Gamma(\alpha+1) = \int_0^{+\infty} x^{(\alpha+1)-1} e^{-x} dx = \int_0^{+\infty} x^{\alpha} e^{-x} dx

设：

{u=xαdv=e−xdx⟹{du=αxα−1dxv=−e−x\begin{cases} u = x^{\alpha} \\ dv = e^{-x} dx \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} du = \alpha x^{\alpha-1} dx \\ v = -e^{-x} \end{cases}

利用分部积分公式 ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du，有：

Γ(α+1)=[−xαe−x]0+∞−∫0+∞(−e−x)αxα−1dx\Gamma(\alpha+1) = \left[ -x^{\alpha} e^{-x} \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} (-e^{-x}) \alpha x^{\alpha-1} dx

分析边界项 [−xαe−x]0+∞\left[ -x^{\alpha} e^{-x} \right]_0^{+\infty}：

  1. 当 x→+∞x \to +\infty 时，根据洛必达法则，指数函数 exe^x 的增长速度远快于幂函数 xαx^\alpha，故极限为 0。
  2. 当 x→0x \to 0 时（假设 α>0\alpha > 0），xαx^\alpha 为 0。

因此边界项为 0，剩下的部分为：

Γ(α+1)=0+α∫0+∞xα−1e−xdx\Gamma(\alpha+1) = 0 + \alpha \int_0^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} dx

观察积分部分，正好是 Γ(α)\Gamma(\alpha) 的定义，得证：

Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)

2. 阶乘关系 Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n! 的推导#

基于上述递推公式，利用数学归纳法推导。

第一步：计算 Γ(1)\Gamma(1)

Γ(1)=∫0+∞x1−1e−xdx=∫0+∞e−xdx=[−e−x]0+∞=0−(−1)=1\Gamma(1) = \int_0^{+\infty} x^{1-1} e^{-x} dx = \int_0^{+\infty} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^{+\infty} = 0 - (-1) = 1

我们知道 0!=10! = 1，故 Γ(1)=0!\Gamma(1) = 0! 成立。

第二步：利用递推公式展开 对于正整数 nn：

Γ(2)=1⋅Γ(1)=1⋅1=1!Γ(3)=2⋅Γ(2)=2⋅1=2!Γ(4)=3⋅Γ(3)=3⋅2⋅1=3!\begin{aligned} \Gamma(2) &= 1 \cdot \Gamma(1) = 1 \cdot 1 = 1! \\ \Gamma(3) &= 2 \cdot \Gamma(2) = 2 \cdot 1 = 2! \\ \Gamma(4) &= 3 \cdot \Gamma(3) = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! \end{aligned}

第三步：推广 假设 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!，则：

Γ(n+1)=n⋅Γ(n)=n⋅(n−1)!=n!\Gamma(n+1) = n \cdot \Gamma(n) = n \cdot (n-1)! = n!

得证：

Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1) = n!

3. 特殊值 Γ(12)=π\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} 的推导#

利用换元法将伽玛函数转化为高斯积分（Gaussian Integral）的形式。

根据定义：

Γ(12)=∫0+∞x12−1e−xdx=∫0+∞x−12e−xdx=∫0+∞e−xxdx\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} x^{\frac{1}{2}-1} e^{-x} dx = \int_0^{+\infty} x^{-\frac{1}{2}} e^{-x} dx = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} dx

第一步：换元 令 x=t2x = t^2，则 dx=2tdtdx = 2t dt。积分限保持 0→+∞0 \to +\infty。

Γ(12)=∫0+∞e−t2t⋅2tdt=2∫0+∞e−t2dt\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t^2}}{t} \cdot 2t dt = 2 \int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt

第二步：利用二重积分求解高斯积分 设该积分为 II，即 I=∫0+∞e−t2dtI = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt。 构造平方 I2I^2：

I2=(∫0+∞e−x2dx)(∫0+∞e−y2dy)=∫0+∞∫0+∞e−(x2+y2)dxdyI^2 = \left( \int_0^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) \left( \int_0^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) = \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy

第三步：转换为极坐标系 令 x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, y = r\sin\theta。 区域为第一象限，故 θ∈[0,π2],r∈[0,+∞)\theta \in [0, \frac{\pi}{2}], r \in [0, +\infty)。 面积元 dxdy=rdrdθdx dy = r dr d\theta。

I2=∫0π2dθ∫0+∞e−r2rdr=π2⋅[−12e−r2]0+∞=π2⋅(0−(−12))=π4\begin{aligned} I^2 &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r dr \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \left[ -\frac{1}{2} e^{-r^2} \right]_0^{+\infty} \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \left( 0 - (-\frac{1}{2}) \right) \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}

第四步：开方

I=π4=π2I = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

代回 Γ(1/2)\Gamma(1/2) 的表达式：

Γ(12)=2I=2⋅π2=π\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = 2I = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi}

得证：

Γ(12)=π\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}

例题#

一道很简单的积分计算

我们需要计算以下定积分的值：

I=∫0+∞x2025⋅e−12x2dxI = \int_0^{+\infty} x^{2025} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \mathrm{d}x

解题思路#

该积分的形式包含指数项 e−x2e^{-x^2} 和幂函数项，非常符合 伽玛函数 (Gamma Function) 的定义形式。

回顾伽玛函数的定义：

Γ(s)=∫0+∞ts−1e−tdt(s>0)\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} \mathrm{d}t \quad (s > 0)

且对于正整数 nn，有性质 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!。

为了利用这一工具，我们需要通过 换元法 将原积分变形为标准形式。

详细计算步骤#

1. 换元处理#

令 t=12x2t = \frac{1}{2}x^2，则有：

x2=2t  ⟹  x=2tx^2 = 2t \implies x = \sqrt{2t}

对两边微分：

xdx=dtx \mathrm{d}x = \mathrm{d}t

为了方便代换，我们可以将原被积函数中的 x2025x^{2025} 拆解为 x2024⋅xx^{2024} \cdot x：

x2025dx=(x2)1012⋅(xdx)x^{2025} \mathrm{d}x = (x^2)^{1012} \cdot (x \mathrm{d}x)

将 x2=2tx^2 = 2t 和 xdx=dtx \mathrm{d}x = \mathrm{d}t 代入上式：

x2025dx=(2t)1012dt=21012⋅t1012dt\begin{aligned} x^{2025} \mathrm{d}x &= (2t)^{1012} \mathrm{d}t \\ &= 2^{1012} \cdot t^{1012} \mathrm{d}t \end{aligned}

积分限变换：

  • 当 x=0x = 0 时，t=0t = 0；
  • 当 x→+∞x \to +\infty 时，t→+∞t \to +\infty。 积分区间 [0,+∞)[0, +\infty) 保持不变。

2. 代入积分#

将上述变换代入原积分 II：

I=∫0+∞(x2)1012⋅e−12x2⋅(xdx)=∫0+∞(2t)1012⋅e−tdt=21012∫0+∞t1012⋅e−tdt\begin{aligned} I &= \int_0^{+\infty} (x^2)^{1012} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \cdot (x \mathrm{d}x) \\ &= \int_0^{+\infty} (2t)^{1012} \cdot e^{-t} \mathrm{d}t \\ &= 2^{1012} \int_0^{+\infty} t^{1012} \cdot e^{-t} \mathrm{d}t \end{aligned}

3. 利用伽玛函数求解#

观察上式中的积分部分：

∫0+∞t1012e−tdt\int_0^{+\infty} t^{1012} e^{-t} \mathrm{d}t

对比伽玛函数定义 Γ(s)=∫0+∞ts−1e−tdt\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} \mathrm{d}t，我们可以确定 ss 的值：

s−1=1012  ⟹  s=1013s - 1 = 1012 \implies s = 1013

因此，该积分部分等于 Γ(1013)\Gamma(1013)。

利用伽玛函数的阶乘性质 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) = (n-1)!，我们得到：

Γ(1013)=(1013−1)!=1012!\Gamma(1013) = (1013 - 1)! = 1012!

4. 最终结果#

将 Γ(1013)\Gamma(1013) 的值代回原式：

I=21012⋅Γ(1013)=21012⋅1012!\begin{aligned} I &= 2^{1012} \cdot \Gamma(1013) \\ &= 2^{1012} \cdot 1012! \end{aligned}

答案：

∫0+∞x2025⋅e−12x2dx=21012⋅1012!\int_0^{+\infty} x^{2025} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \mathrm{d}x = \boldsymbol{2^{1012} \cdot 1012!}
伽玛函数
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作者
btop251
发布于
2025-12-09
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