1. 邻域#

• 邻域：$U(a, \delta)$

• 去心邻域：$\mathring{U}(a, \delta)$

2. 定义域#

• $y = \tan x$：$x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})$

• $y = \cot x$：$x \neq k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$

• $y = \arcsin x$：$x \in [-1,1],\ y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

• $y = \arccos x$：$x \in [-1,1],\ y \in [0, \pi]$

1. 极限定义（了解）#

• 数列极限：$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$

若对于$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N \in \mathbb{Z}^+$，当$n > N$时，有$|x_n - a| < \varepsilon$；

Note：核心是 “任意小的$\varepsilon$，存在足够大的$N$”。

• 函数在$x \to x_0$时的极限：$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$

$\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，当$0 < |x - x_0| < \delta$时，有$|f(x) - A| < \varepsilon$；

Note：$0 < |x - x_0|$表示不考虑$x = x_0$点的定义。

• 函数在$x \to \infty$时的极限：$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = A$

$\forall \varepsilon > 0$，$\exists X > 0$，当$|x| > X$时，有$|f(x) - A| < \varepsilon$；

Note：适用于$x$趋向正无穷或负无穷的场景。

2. 函数极限的计算（掌握）#

3. 数列极限的计算#

• 夹逼原则：若$x_n \leq y_n \leq z_n$且$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = \lim\limits_{n \to \infty} z_n = a$，则$\lim\limits_{n \to \infty} y_n = a$

• 积分定义：$\lim\limits_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f\left( \frac{i}{n} \right) \cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x)dx$（第五章关联）

• 特殊极限：$\lim\limits_{n \to \infty} q^n = 0 \ (|q| < 1)$

1. 函数在点$x_0$处连续的定义#

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Note：一切初等函数在其定义域内均连续。

2. 闭区间上函数连续的性质#

• 最大最小值定理：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值和最小值。

• 零点定理：设$f(x) \in C[a,b]$，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi) = 0$。

• 介值定理：设$f(x) \in C[a,b]$，且$f(a) = A$，$f(b) = B \ (A \neq B)$，则对$A$与$B$之间的任意常数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi) = C$。

1. 第一类间断点（左右极限均存在）#

• 可去间断点：$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) \neq f(x_0)$（或$f(x_0)$无定义）

• 跳跃间断点：$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x)$

2. 第二类间断点（至少一个左右极限不存在）#

• 无穷间断点：左右极限之一趋向$\infty$（例：$y = \frac{1}{x}$在$x = 0$处）

• 振荡间断点：左右极限振荡不存在（例：$y = \sin\frac{1}{x}$在$x = 0$处）

1. 导数定义#

$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

Note：

① 定义主要用于定理证明；

② 导函数定义：$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

2. 分段函数在分段点处的可导性判别#

定理：$f(x)$在$x_0$处可导 $\iff$ $f(x)$在$x_0$处连续且左右导数存在相等。

左导数：$f'_-(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

右导数：$f'_+(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

3. 导数的几何意义#

曲线在点$(x_0, y_0)$处的切线斜率$k = f'(x_0)$：

• 切线方程：$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$

• 法线方程：$y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) \ (f'(x_0) \neq 0)$

1. 四则运算法则#

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$

• $(uv)' = u'v + uv'$

• $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \ (v \neq 0)$

2. 反函数求导#

若$y = f(x)$与$x = \varphi(y)$互为反函数，则$f'(x) = \frac{1}{\varphi'(y)}$

3. 复合函数求导（链式法则）#

设$y = f(u)$，$u = \varphi(x)$，则$\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \varphi'(x)$

4. 隐函数求导#

对$F(x,y) = 0$两边关于$x$求导，将$y$视为$x$的函数，解出$y'$

5. 参数方程求导#

设$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$，则$\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} \ (x'(t) \neq 0)$

1. 微分的概念#

若$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A\Delta x + o(\Delta x)$，则$dy = A\Delta x$

Note：$dy = f'(x_0)dx$，对$y = f(x)$，有$dy = f'(x)dx$

2. 微分在近似计算中的应用#

$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$（$x$接近$x_0$时）

1. 罗尔（Rolle）中值定理#

条件：$f(x)$在$[a,b]$连续、$(a,b)$可导、$f(a) = f(b)$

结论：至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi) = 0$

Note：① 用于证明导函数根的存在性；② 证明原函数根的唯一性。

2. 拉格朗日中值定理#

条件：$f(x)$在$[a,b]$连续、$(a,b)$可导

结论：至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Note：① 用于求极限时替换差值；② 建立不等式证明。

3. 柯西中值定理#

条件：$f(x), g(x)$在$[a,b]$连续、$(a,b)$可导，且$g'(x) \neq 0$

结论：至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$

Note：洛必达法则的理论基础。

常用基本积分公式#

• $\int x^\mu dx = \frac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1} + C \ (\mu \neq -1)$

• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$

• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

• $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

• $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$

• $\int \sin x dx = -\cos x + C$

• $\int \cos x dx = \sin x + C$

• $∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C$

• $\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C$

• $\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$

• $\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C$

• $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C \ (a > 0)$

• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C \ (a > 0)$

• $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a}\ln\left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C \ (a > 0)$

• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln\left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right| + C \ (a > 0)$

• $\int \arcsin x dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$

• $\int \arctan x dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$

1. 第一类换元法（凑微分法）#

$\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f(u)du$（令$u = \varphi(x)$）

常用凑微分形式：

• $dx = d(x + c)$，$x dx = \frac{1}{2}d(x^2 + c)$

• $\frac{1}{\sqrt{x}}dx = 2d(\sqrt{x} + c)$，$\frac{1}{x}dx = d(\ln|x| + c)$

• $\frac{1}{1 + x^2}dx = d(\arctan x) = -d(arccot x)$

• $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = d(\arcsin x) = -d(\arccos x)$

技巧：

• 被积函数为三角函数偶次方需降次，奇次方需拆项；

• 优先将 “复杂部分” 凑成中间变量$u$。

2. 第二类换元法#

$\int f(u)du = \int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx$（令$u = \varphi(x)$，$x = \varphi^{-1}(u)$）

常用代换类型：

• $\int f(x, \sqrt{ax + b})dx$：令$t = \sqrt{ax + b}$

• $\int f(x, \sqrt{x^2 - a^2})dx$：令$x = a\sec t$

• $\int f(x, \sqrt{a^2 - x^2})dx$：令$x = a\sin t$

• $\int f(x, \sqrt{a^2 + x^2})dx$：令$x = a\tan t$

• $\int f(ax + b)dx$：令$t = ax + b$

• $\int f\left( x, \frac{ax + b}{cx + d} \right)dx$：令$t = \frac{ax + b}{cx + d}$

1. 定义#

$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$，其中$\lambda = \max\{\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n\}$，$\Delta x_i = \frac{b - a}{n}$。

2. 几何意义#

• 若$f(x) \geq 0$，$\int_a^b f(x)dx$表示曲线$y = f(x)$与$x$轴、$x = a$、$x = b$围成的曲边梯形面积；

• 若$f(x) \leq 0$，$\int_a^b f(x)dx$表示该面积的负值。

3. 核心性质#

1. $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$，$\int_a^a f(x)dx = 0$；

2. $\int_a^b dx = b - a$；

3. 线性性质：$\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$，$\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx$；

4. 区间可加性：$\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$（$c$为任意常数）；

5. 保号性：若在$[a,b]$上$f(x) \geq 0$，则$\int_a^b f(x)dx \geq 0$；

6. 估值不等式：设$M = \max\limits_{[a,b]} f(x)$，$m = \min\limits_{[a,b]} f(x)$，则$m(b - a) \leq \int_a^b f(x)dx \leq M(b - a)$；

7. 积分中值定理：若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi \in [a,b]$，使得$\int_a^b f(x)dx = f(\xi)(b - a)$。

4. 变上限函数#

定义：$\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$

导数公式：

• $\Phi'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$

• $\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt = f[\varphi(x)]\varphi'(x)$

• $\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)dt = f[\varphi(x)]\varphi'(x) - f[\psi(x)]\psi'(x)$

5. 牛顿 — 莱布尼茨公式#

若$f(x)$在$[a,b]$上连续，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$\int_a^b f(x)dx = F(x)\big|_a^b = F(b) - F(a)$。

1. 换元积分法#

换元必换限，凑微分不必换限。例：令$u = \varphi(x)$，则$\int_a^b f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)du$。

2. 分部积分法#

$\int_a^b uv'dx = uv\big|_a^b - \int_a^b u'vdx$

3. 奇偶函数积分性质#

• 若$f(x)$为奇函数，$\int_{-a}^a f(x)dx = 0$；

• 若$f(x)$为偶函数，$\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$。

4. 广义积分（反常积分）#

• 无穷区间：$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim\limits_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)dx$，$\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim\limits_{a \to -\infty} \int_a^b f(x)dx$；

• 无界函数：$\int_a^b f(x)dx = \lim\limits_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a + \varepsilon}^b f(x)dx$（$f(x)$在$x = a$处无界）。

1. 平面图形的面积#

• 直角坐标：$A = \int_a^b |f(x) - g(x)|dx$（上下曲线），$A = \int_c^d |f(y) - g(y)|dy$（左右曲线）；

• 极坐标：$A = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta$（曲线$r = r(\theta)$与$\theta = \alpha$、$\theta = \beta$围成）。

2. 曲线的弧长#

• 直角坐标：$s = \int_a^b \sqrt{1 + f'^2(x)}dx$（$y = f(x)$，$a \leq x \leq b$）；

• 参数方程：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{\varphi'^2(t) + \psi'^2(t)}dt$（$\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，$\alpha \leq t \leq \beta$）；

• 极坐标：$s = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta) + r'^2(\theta)}d\theta$（$r = r(\theta)$，$\alpha \leq \theta \leq \beta$）。

3. 立体体积#

• 平行截面面积已知：$V = \int_a^b A(x)dx$（$A(x)$为$x$处截面面积）；

• 旋转体体积：

① 绕$x$轴：$V = \pi\int_a^b f^2(x)dx$（曲线$y = f(x)$绕$x$轴旋转）；

② 绕$y$轴：$V = \pi\int_c^d \varphi^2(y)dy$（曲线$x = \varphi(y)$绕$y$轴旋转）。

1.微分方程#

含导数或微分的方程称为微分方程，一般形式为 $f(x,y′,...,y(n))=0$

2.微分方程的阶数#

微分方程中所含导数或微分的最高阶数称为微分方程的阶数。

3.微分方程的解#

使得微分方程成立的函数称为微分方程的解。 不含任意常数的解称为微分方程的特解。 若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为微分方程的通解。

二阶常系数齐次线性微分方程的解法#

形如#

$y''' + py'' + qy' + ry = 0$

的微分方程为三阶常系数齐次线性微分方程。